Integrales de Simetría (Integral Física) en 3D (página 2)

Partes: 1, 2

Figura 1.a

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La simetría del área bajo la
curva de una potencia de la
función
identidad, en
relación al área de la figura elegida como
patrón, aumenta en la misma cantidad que incrementa el
exponente de la potencia. Es decir, si queremos hallar ahora la
primitiva de In(x) = f(x) = xn, (figura 1.b),
el incremento del exponente con respecto a la función
identidad I(x) = f(x) = x, es n – 1, y por
tanto este es el incremento en el denominador por la
simetría.

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Entonces la primitiva F(x), de
f(x) = xn:

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Aunque parezca muy trivial, este desglose
nos permitirá tener un procedimiento
general que aplicaremos para hallar primitivas en 3D.

Consideraciones para primitivas de
integrales de
tres dimensiones:

1) La base en la integración 3D (a
diferencia de 2D) debe escogerse de entre un sinnúmero de
formas. Aquí consideraremos dos: base triangular y base
circular-elíptica.

2) El Diferencial dxy que usamos
como notación no representa un rectángulo
infinitesimal, como en la integral doble de 2D, más bien
representa una porción del área de la base
independiente del sistema de
coordenadas.

3) Los Límites de
integración para evaluar la primitiva, son las distintas
ecuaciones de
las superficies que delimitan el volumen a
calcular.

4) La Constante de integración
C puede ser una función y será omitida en el
procedimiento.

5) Esta teoría
no pretende sustituir las integrales múltiples.

6) Las aplicaciones físicas
requieren redefinir los conceptos y principios de las
leyes de la
física en
el campo n dimensional donde se define la integral de
simetría. Por ejemplo ¿cómo definimos la
distancia en una integral de simetría de 3D? Obviamente
tendríamos que definirla como una función de dos
variables
independientes (velocidad y
tiempo
independientes una del otro), y su interpretación geométrica ya no
sería un área sino un volumen. Sin embargo parece
muy conveniente para aplicaciones en relatividad.

Integración Simétrica en
3D

Queremos ahora aplicar tanto el proceso de
integración simétrica, como su hipótesis de simetría, en el espacio
R3. Pero primero debemos superar el inconveniente mencionado en
las consideraciones anteriores, sobre la escogencia de una base
de integración ante la multivariedad de formas que pueden
tomar estas en el plano xy. Inconveniente que no se
presenta en R2 debido a que la base de integración, que en
este caso es un segmento, sólo tiene una única
forma, y si acaso sólo podemos cambiar su
orientación (orden de integración). Una segunda
dificultad surge también por la elección que
debemos hacer, en el espacio R3, de la función identidad,
que a diferencia de R2, donde dicha función identidad es
única I(x) = x. En R3 tenemos muchas
posibilidades de estimar una función como
"función identidad". Por ejemplo: Tanto z = x +
y como z = Monografias.com pueden ser consideradas como funciones
identidad. Esta ambigüedad se supera automáticamente
con la solución del inconveniente anterior. Es decir,
ambos obstáculos a una son salvados al hacer una sola
elección, lo cual implica inequívocamente una
función identidad diferente y única para cada base,
o tipo de expansión de las variables (ver
apéndice B). Es decir escoger una base de
integración forzosamente fija la función identidad.
Resaltamos que este es el único medio en que podemos
conseguir primitivas en R3. En este trabajo
presentaremos el desarrollo de
la base triangular y circular cuyas funciones identidad son
I(x,y) = x + y ; I(x,y) =
respectivamente.

Integral de Base
Triangular

Como su nombre indica consiste en tomar
como base de integración un triángulo, que para
simplificar, elegimos rectángulo, cuyos catetos valen la
unidad y coinciden con los ejes x, y (como muestra la figura
2 en rojo). Sobre ella graficamos (en azul) la función
"identidad", apropiada para esta base f(x,y) = x + y. La
figura patrón sobre la cual se define la simetría
es un paralelepípedo. El resultado es un prisma inscrito
en un cubo con simetría 3, dentro del mismo.

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Aplicamos ahora el algoritmo de
integración simétrica, anteriormente descrito, para
obtener la primitiva de la función identidad
I(x,y) = f(x,y) = x + y, como lo hicimos para
f(x) = x en 2D. Tomando en cuenta que la base b, es
ahora el área de la base del cubo, b = x.y, con
su altura h = f(x,y). La primitiva F(x,y), es
el volumen del cubo entre la simetría de la función
identidad que es 3:

¡Eureka!

De esta manera obtenemos la primera
primitiva de una función escalar de 3D.

Aplicando ahora la hipótesis de la
integración simétrica, tenemos la primitiva para
cualquier potencia de la función identidad (x +
y)n:

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Generalizando para un binomio con
coeficientes a y b, resulta:

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Ilustremos ahora el poder de
cálculo
de esta integral, con un Ejemplo:

Hallar el volumen bajo la superficie de la
función , Monografias.com

comprendida entre los planos 2x + 3y =
3, 2x + 3y = 2. En la figura 3 graficamos lo que queremos
hallar

Aplicando la fórmula 1) la
primitiva es

Los límites de integración para evaluar
esta primitiva, son las distintas ecuaciones de superficie, las
cuales agrupamos a manera de parámetros b) y a) como en la
integral tradicional:

b) x = 3/2, y = 1, 2x + 3y = 3 a) x = 1, y = 2/3, 2x +
3y = 2

Introducimos estos parámetros en la
primitiva hallada en la forma F(b) –
F(a):

Este mismo resultado puede verificarse por
el método
tradicional de la integral múltiple, originándose
integrales nada fáciles de resolver, además de que
se hace necesario dividir la región en dos
partes:

Base circular
elíptica

Podemos ahora aplicar el mismo
procedimiento anterior para esta nueva base (ver figura 4), donde
la función identidad es el paraboloide:

f(x,y) = x2 +
y2, que divide al cilindro (figura patrón) en dos
volúmenes iguales (simetría s = 2) y cuya
área de base es p(x2 + y2). Aplicando
directamente la hipótesis de integración
simétrica para esta base. La primitiva es el volumen del
cilindro cuya nueva altura es (x2 + y2)n, y

cuya base es p(x2 + y2), entre la
simetría s = 2, más el incremento simetría n
– 1:

Generalizando para un binomio con
coeficientes a2 y b2 (base elíptica) y por cambio de
variables, tenemos:

Ejemplo: Ilustremos también
el poder de esta integral para calcular el volumen de una
semiesfera de radio a, y
ecuación

, interceptada con un cilindro de radio r,
x2 + y2 = r2 ver Fig. 5

Para hallar la primitiva de f(x,y)
procedemos como estamos acostumbrados en el cálculo
tradicional, por cambio de variable d(a2 – x2 – y2)
= – dxy, y aplicando la fórmula 2).

Ahora insertamos en esta primitiva
obtenida, los límites de integración de las
superficies cilíndricas

Y el resultado es finalmente

En la tabla II mostramos también
algunas primitivas de las funciones más
relevantes.

Deducción tampoco fácil de
obtener por el proceso tradicional de la integral
múltiple, que además requiere cambiar a coordenadas
a polares.

Conclusiones

Los resultados en 3D redundan en lo que ya
se ha derivado de 2D. Sin embargo tenemos un procedimiento mucho
más resumido, y un mayor poder de cálculo.
Además se abre un nuevo horizonte de aplicaciones, si
consideramos todas las herramientas
afines al cálculo: La derivada 3D para cada tipo de base,
ecuaciones
diferenciales, series de potencias, polinomios etc. a las
cuales habría que aplicarles este nuevo concepto, sobre
el enfoque de un cálculo para dos o más variables
independientes.

Aparte de esto, el revelar la
conexión entre la simetría y el cálculo,
posibilita desglosar en tres los elementos que definen el
cálculo: la base o patrón de expansión de
las variables con su correspondiente función identidad, la
figura patrón, y la métrica sobre la cuál se
define la simetría. Esto permite no sólo
incursionar aplicaciones en simetrías semienteras, sino
que debido a su expresión matemática
invariante al sistema de coordenadas, también generaliza
un procedimiento de cálculo para el análisis multidimensional con el fin de
generar primitivas en espacios Euclídeos y no
Euclídeos n dimensional. Por supuesto conforme la
disponibilidad y capacidad de percibir una simetría
particularizada a un modo de expansión de las variables,
característico también de la base de
integración y del volumen patrón escogido. En tal
sentido proponemos la siguiente expresión para una
primitiva k dimensional:

Glosario

Simetría: Propiedad de
ciertos objetos físicos y/o figuras geométricas de
permanecer inalterables ante cierta "transformación
lineal" ya sea de traslación o de
rotación.

Función identidad: Es la
función de Rn sobre la cual se percibe
físicamente una simetría respecto a alguna figura
geométrica, previamente escogida y de aspecto
regular.

Patrón de expansión:
Es la forma como se expanden las variables dentro del dominio de
integración. En R3, el modo como crece el área,
trapezoidalmente en el caso triangular y concéntricamente
en el caso circular.

Apéndice

APÉNDICE A

Tablas de Primitivas de Integrales en
3D

Tabla I

APÉNDICE B

Tipos de Expansión de las
variables xy (bases)

Expansión
Triangular

A continuación ilustramos la
expansión triangular, note que paralelamente sobre la
expansión de la base en el plano xy (en rojo) cabalga la
función z = x + y, la cual representa la
función identidad apropiada para este tipo de
base.

Expansión Circular

De la misma manera podemos notar como el
cono z = es una
función que se acopla a la expansión circular, y
por tanto una candidata a Función Identidad.

APÉNDICE B
(continuación)

Modos de Expansión de las
variables xy

Base Cuadrada

A continuación ilustramos los
distintos modos en que se puede expandir una base. Tomando como
ejemplo la base cuadrada. También para este tipo de base
puede usarse la función identidad z = x +
y

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Estos mismos modos de expansión
pueden aplicarse a las otras bases triangular y
circular.

APÉNDICE C

Aplicación Matemática de
las Integrales de Simetría

¿Por qué no existe la
primitiva de

Queremos ahora presentar una
aplicación de este nuevo enfoque de la teoría de
integración, para mostrar por vez primera un argumento
simple pero válido, que justifique en su
dialéctica, el por qué no podemos hallar una
primitiva de Monografias.com o una combinación finita de operaciones sobre
funciones conocidas con el mismo propósito de hallar la
integral).

Procedemos al absurdo:

Supongamos que tal primitiva existe y
llamémosla O
(x) (en realidad esta función sólo
existiría en el cálculo numérico
computacional) entonces:

Consideremos también la misma
función primitiva pero en otra variable, digamos
y:

Y construyamos ahora la función
Tal que
F(x,y) = O (x). O (y)

Es decir la función F(x,y)
de R3, es el resultado del producto de la
misma primitiva R2, una en la variable x, otra
en y. Sustituyendo por sus respectivas integrales
tenemos:

Dado que suponemos que tanto x
como y son finitos y es continua y acotada en dicho
intervalo, ambas funciones son integrables en dichos intervalos,
tanto en x como en y, y por lo tanto podemos
asociar el producto de estas integrales en una integral
reiterada[1](o integral iterada) sobre una
región del plano que llamaos R:

APÉNDICE C
(continuación)

Ahora expresamos esta integral iterada en
una integral doble[2]sobre la misma región
R del plano xy (marcada en azul en el gráfico):

La presente gráfica de z =
F(x,y) ilustra materialmente lo que queremos
mostrar:

Podemos expresar también esta
integral en forma de Integral de Simetría con el
correspondiente lenguaje
diferencial dxy, y conviniendo ahora la notación
R como base rectangular.

Ahora en base a la teoría de
Integral de Simetría esta integral no puede existir,
puesto que no hay simetría visible ni perceptible para la
función del argumento (función "identidad") x2
+ y2 sobre una base rectangular (marcada en azul en la
gráfica), como sí hay simetría

APÉNDICE C
(continuación)

perceptible para la base circular (marcada
en rojo discontinuo en la gráfica. Y ni siquiera menos
podemos esperar hallar la primitiva término a
término de la expansión en serie de Monografias.com en base rectangular. Por
tanto no existe tal función F(x,y) primitiva
(combinación finita de operaciones sobre funciones
conocidas), y tampoco existen las hipotéticas primitivas
O(x), O (y). O dicho de otra manera no existe
tal primitiva en R3, puesto que la expansión del argumento
es circular y la base de integración es rectangular. Por
lo cual queda demostrado, bajo las premisas de esta
teoría, que definitivamente no existe la primitiva de
Monografias.com Y ni siquiera como
una combinación finita de operaciones sobre ella misma o
sobre alguna otra función trascendente. La
demostración es también válida para
cualquier función trascendente con argumento
x2.

Sin embargo, como también lo
señalamos en la tabla I, sí existe la primitiva
de ex + y para una base triangular, como
también la podemos verificar para la base rectangular, ya
que la función "identidad" x + y sí posee
simetría perceptible sobre la base triangular y
rectangular.

En conclusión la
demostración se ha basado en que la función
de R2 es parte o
componente de una función más general perteneciente
a R3, y cuya primitiva (sobre una base rectangular) en tal
espacio R3, es necesariamente el producto de ambas primitivas de
R2, y hemos demostrado que esta primitiva de R3 no existe, para
la base rectangular y por ende tampoco el producto, y en
consecuencia no existen las componentes O (x), O
(y).

He aquí por tanto la ventaja de
tener primitivas en R3 y una teoría que las sustente. En
definitiva la capacidad que tenemos para distinguir
simetrías es, al fin y al cabo, lo que permite relacionar
una sumatoria infinita, representativa de un área bajo una
curva (en el caso bidimensional 2D), o de un volumen bajo una
superficie (caso 3D), con funciones conocidas o combinaciones de
operaciones sobre ellas (que llamamos primitivas), las cuales
evaluamos por inserción de parámetros adecuados en
ellas.

APÉNDICE D

Constantes de Integración en
3D

Hasta ahora hemos evadido el tema de la
constante de Integración que desde un principio
habíamos hecho mención en las consideraciones sobre
primitivas en 3D, como funciones de x e y. No
ha sido pues casualidad que hayamos postergado su tratamiento
para el final de este trabajo, en referencia a las complicaciones
que requieren su estudio. Sin embargo es precisamente aquí
donde radican las principales virtudes de la integral de
simetría, pues son las constantes de integración
las que le dan a la primitiva obtenida el carácter de una función de dos
variables independientes.

Comenzaremos por la base triangular:
Note que como ahora tenemos más variables en
consideración estas pueden combinarse de tal manera que
bajo la influencia de la expansión, los incrementos de
cada variable sean iguales y opuestos, dando un resultado total
nulo, para el caso en que la expansión sea
simétrica o no.

Notamos enseguida que cualquier potencia
del binomio (x – y) permanece invariable al
patrón de expansión de las variables. Luego la
constante de integración será Cj(x –
y)j , usando la notación tensorial. Lo mismo acontece
para cualquier potencia del binomio que contenga potencias de los
monomios, es decir:

Cij(xi – xi)j

De la misma forma para binomios con
coeficientes la primitiva para la base triangular adquiere la
forma más general:

Base circular

Debido a que el "epicentro" de la
expansión circular la ubicamos en el centro de
coordenadas, notamos enseguida que las variables x e y, son por
sí mismas constantes de integración. Ya que su
contribución (al ser la expansión simétrica
en estos ejes) resulta en un incremento positivo en una dirección y el mismo incremento en la
dirección opuesta, pero negativo. Lo mismo acontece para
potencias impares de estas y para los productos
cruzados que contengan también potencias par e impar
simultáneamente.

La constante de integración resulta
entonces:

Donde j y k son enteros (j,k ? Z), y no
pueden ser impar o par a la vez.

APÉNDICE E

Base Mixta Lineal

Hasta ahora hemos construido primitivas de
funciones de R3 a través de potencias de binomios cuyos
argumentos x,y son homogéneos (igual potencia).
Sin embargo el algoritmo de integración simétrica
se aplica sorprendentemente al caso no homogéneo, tomando
como figura patrón un paralelepípedo. Comencemos
con el primer caso cuando uno de los argumentos (digamos
x) es lineal y el otro es cualquier potencia entera
positiva. Por comodidad omitiremos la constante de
integración.

Tomemos por ejemplo z = x + y3,
entonces aplicando el algoritmo de Integración
Simétrica la primitiva de la integral es:

Calculemos el volumen del
paralelepípedo con la ayuda de la siguiente
gráfica

Hallando este volumen a través del
método clásico de integrales múltiples o por
simple parametrización, hallamos que s = 7/3.

En general se comprueba que:

Ahora sobre este resultado podemos aplicar
la hipótesis de integración simétrica para
hallar la primitiva de cualquier potencia n:

Podemos generalizar este resultado a un
formato multidimensional, digamos con variables: x, y, ?,
…, ?

APÉNDICE F

Base Mixta no Lineal

Un caso muy interesante tiene lugar cuando
la menor potencia de las variables es diferente de uno, decimos
entonces que la base no es lineal. Nosotros sólo
presentaremos la situación en que esta menor potencia
tiene exponente dos, Base Mixta Cuadrática.

Tomemos el siguiente ejemplo z = x2 +
y3. Comprobaremos una vez más que, salvo una
constante que debemos considerar ahora, se mantiene el principio
de Integración Simétrica. Esta constante la
denominaremos "factor de forma" y la denotaremos con la letra
griega ?. (pi mayúscula). La cual coincide con p en
la eventualidad que "y" tenga también el mismo
exponente dos, es decir para el caso en que z = x2 + y2
(circunferencia).

Apliquemos pues el algoritmo de
Integración Simétrica a la función z =
x2 + y3